運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表示，它側(cè)重于元件之間的幾何關(guān)系，而忽略了影響運(yùn)動(dòng)的外力。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型用于規(guī)劃和控制工業(yè)機(jī)器人的路徑。 

正向運(yùn)動(dòng)學(xué)根據(jù)機(jī)器人手臂中每個(gè)關(guān)節(jié)的角度確定末端執(zhí)行器的當(dāng)前位置和方向。計(jì)算使用一系列變換矩陣，其中包含關(guān)節(jié)角度、長(zhǎng)度和偏移參數(shù)。

變換矩陣從機(jī)器人基礎(chǔ)到末端執(zhí)行器按順序相乘。結(jié)果是三維坐標(biāo)中的位置和末端執(zhí)行器的方向（以角度表示）。反向運(yùn)動(dòng)學(xué)反轉(zhuǎn)了該過(guò)程，根據(jù)末端執(zhí)行器的位置確定所需的關(guān)節(jié)角度，如圖 1 所示。

圖 1.使用正向或反向運(yùn)動(dòng)學(xué)定義機(jī)器人關(guān)節(jié)位置。（圖片：MathWorks）)

Denavit-Hartenberg 公約

Denavit-Hartenberg （DH） 約定是表示機(jī)器人幾何和關(guān)節(jié)角度的標(biāo)準(zhǔn)化方法。它詳細(xì)介紹了如何將坐標(biāo)系附加到機(jī)器人中的關(guān)節(jié)，從而定義相鄰關(guān)節(jié)之間的相對(duì)位置和方向。

如圖 2 所示，每個(gè)關(guān)節(jié)或鏈接由四個(gè)參數(shù)描述，包括鏈接長(zhǎng)度 （a）、鏈接角度 （θ）、鏈接偏移 （d） 和鏈接扭曲 （α）。這四個(gè)參數(shù)用于計(jì)算每個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)換矩陣。矩陣可以相乘以確定從機(jī)器人底座到末端執(zhí)行器的整體變換?？刂葡到y(tǒng)使用 DH 參數(shù)來(lái)計(jì)算所需的關(guān)節(jié)角度，以實(shí)現(xiàn)所需的末端執(zhí)行器姿勢(shì)。

圖 2.DH 參數(shù)示例。（圖片：MDPI 傳感器)

雅可比矩陣

DH 約定可以與雅可比矩陣一起使用，以將聯(lián)合速度與末端執(zhí)行器速度相關(guān)聯(lián)。關(guān)節(jié)速度可以描述旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)速度，以及棱柱關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)伸展或收縮的速度。

雅可比矩陣 （J） 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣，用于描述關(guān)節(jié)速度和末端執(zhí)行器速度之間的關(guān)系。在機(jī)器人控制系統(tǒng)中，J 用于將關(guān)節(jié)速度映射到末端執(zhí)行器的速度。

換位 J 允許計(jì)算在末端執(zhí)行器上產(chǎn)生所需力所需的關(guān)節(jié)扭矩。在運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中，J 用于識(shí)別和避免機(jī)器人失去自由和精確移動(dòng)能力的奇點(diǎn)。當(dāng) J 的行列式變?yōu)榱銜r(shí)，就會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)。

奇異

在奇點(diǎn)中，關(guān)節(jié)角度和末端執(zhí)行器位置之間的數(shù)學(xué)關(guān)系會(huì)斷開(kāi)，機(jī)器人會(huì)失去一個(gè)或多個(gè)自由度。當(dāng)多個(gè)關(guān)節(jié)以阻止機(jī)器人向一個(gè)或多個(gè)方向移動(dòng)的方式對(duì)齊時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)。這可能導(dǎo)致失控、不穩(wěn)定或動(dòng)作抽搐。通過(guò)仔細(xì)設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)軌跡，可以避免奇點(diǎn)配置。

可作性

奇點(diǎn)是有限可縱性的一種形式。Manipulability （可作性） 衡量機(jī)器人根據(jù)當(dāng)前關(guān)節(jié)配置更改末端執(zhí)行器位置的程度?？煽v性是使用 J 的奇異值分解來(lái)計(jì)算可縱性橢球體的。

可縱性橢球體直觀地表示機(jī)器人向不同方向移動(dòng)的能力。體積較大的橢球體表示更高的可作性。橢球體軸的比率接近 1 表示在所有方向上的可縱性相等，稱為各向同性可縱性。較大的比率表明奇點(diǎn)正在逼近。

總結(jié)

運(yùn)動(dòng)方程用于確定從一個(gè)姿勢(shì)移動(dòng)到另一個(gè)姿勢(shì)的最佳軌跡，并避免可能限制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的奇點(diǎn)等困難。DH 約定是表示機(jī)器人的幾何圖形和關(guān)節(jié)角度的標(biāo)準(zhǔn)化方法。雅可比矩陣提供了用于優(yōu)化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的計(jì)算框架。