歐姆定律是對(duì)導(dǎo)體中電壓、電流和電阻之間線性關(guān)系的經(jīng)典物理解釋。量子力學(xué)提供了對(duì)這種行為背后的機(jī)制的見解，解釋了為什么歐姆定律即使在量子效應(yīng)很重要的非常小的尺度上仍然適用。

歐姆定律是經(jīng)典物理關(guān)系的宏觀觀點(diǎn)。它通過半經(jīng)典 Drude 模型擴(kuò)展到微觀尺度，并且可以使用量子計(jì)量三角形 （QMT） 在量子尺度上進(jìn)行檢查。

歐姆定律的原始版本是基于實(shí)驗(yàn)觀察的經(jīng)驗(yàn)，而不是從基本原理得出的。1827 年，德國物理學(xué)家 Georg Simon Ohm 在他的著作“Die galvanische Kette， mathematisch bearbeitet”（《數(shù)學(xué)研究的電流電路》）中首次發(fā)表了該理論。

Drude 模型

Drude 模型是將歐姆定律與基本物理學(xué)聯(lián)系起來的早期嘗試。它將歐姆定律的宏觀焦點(diǎn)下移至微觀層面。它基于金屬中相對(duì)不動(dòng)的離子對(duì)電子流的散射（圖 1）。這是使用麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)對(duì)電子氣體的動(dòng)力學(xué)理論的應(yīng)用。

圖 1.Drude 模型試圖在微觀層面上解釋歐姆定律。（圖片： 維基百科上的數(shù)據(jù))

Drude 模型是一個(gè)開始，但它有很大的局限性，包括：

• 不考慮溫度的影響。

• 不解釋高頻下的絕緣體或集膚效應(yīng)。

• 不識(shí)別帶隙或電子能級(jí)的存在。

半經(jīng)典到量子

Drude 模型基于經(jīng)典力學(xué)。但是，電子以粒子的“氣體”形式存在的假設(shè)，隱含地認(rèn)識(shí)到它們的量子性質(zhì)，使該模型成為半經(jīng)典模型。但是，Drude 模型不包括其他量子效應(yīng)，例如費(fèi)米-狄拉克分布和波粒二象性。

在描述歐姆定律時(shí)，費(fèi)米-狄拉克分布的結(jié)合很重要，因?yàn)樗鼘?duì)于理解固體（尤其是金屬）中電子的行為以及電子遷移率、能帶結(jié)構(gòu)和摻雜效應(yīng)等現(xiàn)象至關(guān)重要。

自由電子模型

自由電子模型，也稱為 Drude-Sommerfeld 模型，將經(jīng)典的 Drude 模型與量子力學(xué)費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)相結(jié)合。它仍然是一個(gè)簡化的模型。它將金屬視為自由非相互作用電子的“氣體”，但忽略了晶格的影響。

該模型通過將電子視為波并使用費(fèi)米-狄拉克分布來計(jì)算其能級(jí)，從而明確包含量子力學(xué)效應(yīng)。它可用于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)金屬的某些特性，例如導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性。

自由電子模型通過添加更詳細(xì)的量子效應(yīng)得到了改進(jìn)，從而發(fā)展了費(fèi)米氣體和近自由電子模型。

費(fèi)米氣體模型使用理想氣體的量子力學(xué)版本來支持改進(jìn)的結(jié)果，尤其是在非常低的溫度下。近自由電子模型引入了一個(gè)弱周期性勢(shì)來解釋固體的晶格結(jié)構(gòu)，并且可以提供更完整的能帶和帶隙描述。

費(fèi)米氣體模型和近自由電子模型都是改進(jìn)的，但它們涉及重大簡化并且仍然不完整。歐姆定律的理論基礎(chǔ)不斷發(fā)展。

量子計(jì)量三角形

雖然理論理解仍在發(fā)展中，但 QMT 將歐姆定律的基礎(chǔ)牢固地建立在量子電常數(shù)之上。該三角形基于電壓的約瑟夫森效應(yīng)、電阻的量子霍爾效應(yīng)和電流的單電子隧穿。它包含電子電荷 （e） 和普朗克常數(shù) （h） 等基本常數(shù)（圖 2）。

圖 2.QMT 將歐姆定律與量子測(cè)量相關(guān)聯(lián)。（圖片：Metrologia)

QMT 用于在量子尺度上測(cè)試和確認(rèn)歐姆定律。QMT 還提供一種用于高精度測(cè)量電子電荷 （e） 和普朗克常數(shù) （h） 的結(jié)構(gòu)。

物理學(xué)家使用 QMT 來測(cè)試單電子隧穿、約瑟夫森效應(yīng)和量子霍爾效應(yīng)的一致性，以及它們與基本常數(shù)的關(guān)系。最后，QMT 對(duì)于 SI 單位系統(tǒng)至關(guān)重要，因?yàn)樗峁┝艘环N使用基本量子現(xiàn)象驗(yàn)證電氣單位（伏特、歐姆和安培）的方法。

總結(jié)

歐姆定律起源于利用經(jīng)典物理學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn)觀察。它的理論基礎(chǔ)使用基于量子力學(xué)的日益完整的模型不斷發(fā)展。盡管其理論基礎(chǔ)在不斷發(fā)展，但其實(shí)用性已通過 QMT 得到證明，QMT 已在量子尺度上證實(shí)了這一點(diǎn)，并已用于驗(yàn)證基本的量子電單元。