本文使用頻譜的3D模型來揭開復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念的神秘面紗，如希爾伯特變換和移位特性，這些概念使定相方法成為可能。

本系列的前幾篇文章介紹了生成單邊帶（SSB）信號的濾波和定相方法。在本文中，我們將通過探索相位法如何改變輸入信號頻譜的實部和虛部，更深入地研究相位法。與我們之前主要從數(shù)學(xué)角度研究相位方法的討論不同，我們將使用圖形表示來增強(qiáng)我們的理解。

真實信號的頻譜

考慮將實值消息信號作為SSB波傳輸。實值函數(shù)的傅里葉變換表現(xiàn)出共軛對稱性，這意味著譜的實部是偶數(shù)函數(shù)，虛部是奇數(shù)函數(shù)。這在圖1的兩半中進(jìn)行了說明。

實值基帶信號頻譜的實部和虛部。

圖1 實值基帶信號頻譜的實部（a）和虛部（b）。圖片由Steve Arar提供

圖2顯示了上述光譜的三維表示。3D圖允許我們表示定相調(diào)制器內(nèi)不同節(jié)點處的頻譜。

信號頻譜的3D圖。

圖2 使用3D圖演示信號頻譜。圖片由Steve Arar提供

讓我們從使用這個模型來可視化Hilbert變換開始。

Hilbert變換的說明

Hilbert變換是相位法的核心。正如我們在上一篇文章中所了解到的，它對應(yīng)于具有以下頻率響應(yīng)的線性濾波器：

方程式1

它將所有正頻率分量偏移-90度，將所有負(fù)頻率分量偏移+90度。Hilbert變換不影響譜振幅。

由于希爾伯特變換將頻率分量乘以虛數(shù)單位j，因此它將實數(shù)分量轉(zhuǎn)換為虛數(shù)分量，反之亦然。圖3說明了圖2中所示的頻譜在經(jīng)過Hilbert變換時是如何改變的。

輸入信號的頻譜、希爾伯特變換引起的旋轉(zhuǎn)以及希爾伯特頻譜的輸出信號。

圖3 輸入信號的頻譜（a）、由Hilbert變換引起的一個象限的空間旋轉(zhuǎn)（b）和Hilbert變換的輸出頻譜（c）。圖片由Steve Arar提供

我們在上面看到，希爾伯特變換將空間的正頻率和負(fù)頻率部分沿相反方向旋轉(zhuǎn)90度。為了確保我們不會混淆這兩個空間部分的旋轉(zhuǎn)方向，讓我們來看幾個例子。

考慮點M（f1）=1+j，其中f1是正頻率。輸入頻譜的實部和虛部都是正的。由于f1是一個正頻率分量，Hilbert變換將該值乘以-j，得到以下結(jié)果：

方程式2

由此可知，該頻率點的輸出應(yīng)具有正實部和負(fù)虛部。這與圖3（b）一致。

接下來，讓我們考慮一個具有正實值和負(fù)虛值的負(fù)頻率分量（f2）：M（f2）=1-j。這一點對應(yīng)于圖3（a）的負(fù)頻率部分。Hilbert變換將產(chǎn)生：

方程式3

在這里，輸出的實部和虛部都是正的。這再次與上圖一致。

移相特性與相位調(diào)制器

現(xiàn)在我們知道希爾伯特變換是如何改變輸入頻譜的，讓我們更好地理解相位調(diào)制器的操作。為此，我們需要復(fù)習(xí)傅里葉變換的一個重要性質(zhì)。它被稱為移位屬性，它指出將時域信號乘以復(fù)指數(shù)可以得到以下結(jié)果：

方程式4

其中：

x（t）是時域信號

X（f）是X（t）的傅里葉變換

ω0是一個恒定的頻率。

換句話說，頻譜偏移了一個恒定的頻率（ω0）。

考慮到上述情況，讓我們檢查圖4中的相位調(diào)制器框圖。

相位調(diào)制器電路。

圖4SSB定相方法的功能框圖。圖片由Steve Arar提供

VA和VB分別表示上、下路徑輸出端的信號。我們還將把圖上的這兩點稱為節(jié)點A和節(jié)點B。

首先，考慮上部信號路徑。使用歐拉公式，余弦本振子波cos（ωct）可以表示為：

方程式5

基于移位特性，圖4中的上乘法器將消息頻譜轉(zhuǎn)換為±ωc，并將幅度縮放0.5倍。圖5（a）中可以看到結(jié)果的頻譜（沒有幅度縮放）。

同時，輸入到下路徑本地振蕩器的正弦波可以表示為：

方程式6

下路徑將消息信號的希爾伯特變換與上述復(fù)指數(shù)項混合，得到VB。為了幫助我們直觀地理解這一點，讓我們在繼續(xù)之前檢查圖5（b）中的VB頻譜。您可能希望在新選項卡中打開此圖像。

上乘法器、下乘法器和輸出加法器的頻譜。

圖5由上乘法器（a）產(chǎn)生的頻譜、由下乘法器（b）產(chǎn)生的光譜和由輸出加法器（c）產(chǎn)生的組合頻譜。圖片由Steve Arar提供

方程6中的第一項將Hilbert變換的輸出譜（圖3（c）中的Mh（f））移動到ωc的中心，縮放因子為1/2j。除以虛單位j對應(yīng)-90度的相移，產(chǎn)生圖5（b）中輸出譜的正頻率部分。

除以j也會改變實部和虛部的作用。Mh（f）的實部在節(jié)點B處轉(zhuǎn)換為虛部，虛部轉(zhuǎn)換為實部。

方程6中的第二個指數(shù)項將Hilbert變換的輸出譜移動到-ωc，并將其縮放為-1/2j=j/2。僅考慮縮放因子j，我們觀察到輸出光譜偏移了+90度。在我們的3D表示中，這對應(yīng)于一個象限沿順時針方向的空間旋轉(zhuǎn)。再次注意，空間旋轉(zhuǎn)一個象限會將實部變?yōu)樘摬?，反之亦然?/p>

調(diào)制輸出頻譜

調(diào)制器電路通過將節(jié)點A和B的頻譜相加來產(chǎn)生輸出。在這種情況下，這意味著下邊帶信號。如果我們用減法器替換電路輸出端的加法器，它將產(chǎn)生上邊帶。

下側(cè)帶具有相同的振幅和極性。將它們加在一起會得到一個比例因子為2的輸出，如圖5（c）所示。對于上邊帶，實部和虛部的振幅相同，但極性相反。這一增加抵消了它們。

理解分段法的其他方法

在這篇文章中，我們研究了消息信號的實部和虛部，以及相位調(diào)制器電路對它們的修改。然而，對定相方法的一些解釋只考慮了信號頻譜的實部。

例如，考慮圖6。摘自Thomas H.Lee的《CMOS射頻集成電路的設(shè)計》，這是一本關(guān)于射頻設(shè)計的好書，它展示了真實部分在通過電路時是如何變化的。

僅考慮信號實部的定相方法示意圖。

圖6當(dāng)只考慮輸入頻譜的實部時，SSB信號生成的定相方法。圖片由Thomas H.Lee提供

雖然這種方法簡化了電路操作的解釋，但對定相方法的徹底分析應(yīng)該包括頻譜的實部和虛部?，F(xiàn)在你已經(jīng)探索了這個SSB電路的詳細(xì)解釋，作為練習(xí)，嘗試驗證李博士圖表中所示的不同光譜。