1 引入粒子聚合度的改進粒子群優(yōu)化算法
1．1 粒子群優(yōu)化算法(PSO)
PSO算法是美國Kennedy和Eberhart受鳥群覓食行為的啟發(fā)，于1995年提出的。該算法的思想是通過種群粒子間的合作與競爭，產生群體智能指導優(yōu)化搜索。PSO算法可用式(1)表示。

式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d維速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d維的位置；ω是慣性權值系數(shù)；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d維個體極值點的位置(即個體最優(yōu))；gbestdk是整個種群在第k次迭代中第d維全局極值點的位置(即全局最優(yōu))；r1，r2是[0，1]之間的隨機數(shù)；c1，c2是加速系數(shù)，或稱學習因子。
1．2 帶粒子聚合度的改進粒子群優(yōu)化算法
由式(1)可知，如果粒子的當前位置在gbest，此時個體極值點與全局極值點為同一點，即pbest與gbest相同。這時粒子速度若等于零，則種群的粒子將會出現(xiàn)進化停滯，算法只能收斂到種群目前尋找到的最優(yōu)解gbest。假如這時gbest對應的只是一個局部最優(yōu)解，那么算法就出現(xiàn)了早熟收斂現(xiàn)象。
針對PSO算法存在早熟和局部收斂的問題，在基本PSO的基礎上，加入粒子聚合度n和一個線性遞減的慣性權值系數(shù)ω，對PSO算法進行改進。
聚合度n是用來反映粒子群聚集程度的一個系數(shù)。當粒子群出現(xiàn)高度聚集，進化停滯時，n隨迭代次數(shù)遞增；當n大于一個閾值λ(此閾值根據(jù)具體情況選擇)時，對粒子進行變異，使變異粒子跳離當前位置，進入其他區(qū)域。在其后的搜索中，算法有新的個體極值pbest和全局極值gbest，從而跳出局部收斂。多次循環(huán)迭代后，就能找到全局最優(yōu)。
改進的算法可用式(2)和式(3)表示：

式(2)中rand是[0，1]間的隨機數(shù)：
式中：max Xd和min Xd分別是粒子在d維空間上的最大值和最小值。
慣性權值系數(shù)叫決定控制算法的收斂特性，當ω較大時，全局搜索能力強；當ω較小時，局部搜索能力強。文獻[6]通過大量實驗證明，如果ω隨算法迭代的進行而線性減小，將顯著改善算法的收斂性能。在此，取：

式中：(ωmax為最大慣性權值系數(shù)；ωmin為最小慣性權值系數(shù)；k為迭代次數(shù)；ksum為迭代總數(shù)。

2 用IMPSO設計FIR數(shù)字濾波器
2．1 FIR數(shù)字濾波器分析
N階FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應為k(0)，k(1)，…，k(N-1)，其傳遞函數(shù)可表示為：

取z=ejω，可得到數(shù)字濾波器的頻率響應為：

如果設計FIR數(shù)字濾波器的理想頻率響應為Hd(ejω)，則設計濾波器與理想FIR濾波器的誤差e可通過對兩濾波器的幅度在一定量的離散點上的誤差平方和來表示，即取M個離散點時：

由式(7)容易知得，誤差e是濾波器N個系數(shù)h(n)(n=0，1，…，N-1)的函數(shù)。對FIR濾波器的設計，就要選取合適的濾波器系數(shù)h(n)，使誤差e最小。顯然，h(n)的選取是一個組合優(yōu)化問題，因此可通過優(yōu)化算法求解濾波器系數(shù)h(n)，實現(xiàn)FIR設計。
2．2 適應度函數(shù)
IMPSO通過適應度函數(shù)來確定粒子當前位置的優(yōu)劣，因此選式(7)作為優(yōu)化設計FIR數(shù)字濾波器的適應度函數(shù)。即：

顯然，F(xiàn)ithess函數(shù)值越小，則對應濾波器的幅度均方誤差就越小，該粒子就對應更佳的濾波器系數(shù)。算法結束后，適應度最小的粒子所代表的參數(shù)值就是濾波器的最優(yōu)系數(shù)。
2．3 算法編碼及流程
為了用IMPSO算法求解h(n)，應對優(yōu)化參數(shù)h(0)，h(1)，…，h(N-1)進行適當?shù)木幋a，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用實數(shù)來表示各參數(shù)，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分別表示N個粒子當前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分別表示當前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的個體最優(yōu)，gbest表示全體的最優(yōu)解。算法流程如圖1所示。