設wf₁(a,x)表示，在小波尺度a下的小波變換系數(shù)，p(x)為大于給定閾值T的小波變換系數(shù)概率。推導經(jīng)CCD成像(含實際噪聲)后邊緣圖像的準確位置。

　　期望值即是理想邊緣經(jīng)成像系統(tǒng)所得實際圖像邊緣的準確位置。

　　對于離散信號，設是圖像邊緣信號的小波變換系數(shù)，為大于給定閾值T的概率，E是階躍邊緣位置x的期望值，則有：

　　由此得到的小波系數(shù)期望值E即為圖像邊緣的準確位置。

　　小波變換期望值亞像素定位法求解步驟

　　小波變換期望值亞像素邊緣檢測具體定位步驟如下：

　　1)選擇一個小波尺度a，對給定的數(shù)據(jù)執(zhí)行小波變換;

　　2)求出在小波尺度a下的小波變換系數(shù)的模極大值;

　　3)濾除由噪聲產(chǎn)生的，小波變換系數(shù)中隨小波尺度a的增加而減小的模極大值;

　　4)給定一閾值T，濾除由噪聲與微小細節(jié)生成的模極大值;

　　5)在模極大值附近，尋找和模極大值同符號的小波系數(shù)區(qū)間，該區(qū)間內(nèi)的小波變換系數(shù)由式(12)求期望，所得期望值即是圖像邊緣的亞像素位置。

　　理論可證明，小波變換邊緣檢測定位法不存在原理誤差，同時具有較強的抗噪性能。有關試驗已表明，在對光源等環(huán)境條件沒有特殊要求的情況下，其邊緣定位檢測的精度能夠在0.02個像素以內(nèi)[5]，驗證了理論的正確性。另外，小波變換期望值邊緣檢測亞像素定位法是建立在信號小波變換基礎上的，而Mallat方法的提出，使得小波變換的速度大大提高[4]，因此小波變換期望值邊緣檢測亞像素定位法，無論是在其精度、抗噪性能還是速度等方面，都已有比較優(yōu)越的性能。