Cayley-Menger行列式及距離幾何約束

　　距離幾何理論中，Cayley-Menger行列式可以被用來處理不變空間的歐拉距離幾何問題^[6，7]。兩個(gè)n點(diǎn)序列{ P₁，…，P_n }和{ q₁，…，q_n }∈ R^m組成Cayley-Menger矩陣，且定義為：

　　其中，(i，j {1， …，n}為p_i點(diǎn)和q_j之間的歐式距離。兩個(gè)n點(diǎn)序列的Cayley-Menger行列式定義為:

　　當(dāng)兩個(gè)序列相同時(shí)， 被稱為Cayley-Menger行列式。在RSSI測距過程中，由于多徑、繞射、障礙物等因素，不可避免出現(xiàn)測距誤差，設(shè)未知節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)之間的真實(shí)距離與測量距離。設(shè)未知節(jié)點(diǎn)接收到錨節(jié)點(diǎn) 的測量信息，根據(jù)節(jié)點(diǎn)集合，…，結(jié)合^[3]利用Cayley-Menger行列式的經(jīng)典理論的推導(dǎo)，可得到r-2個(gè)獨(dú)立的二次距離約束等式，。 作為未知節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)在測量過程中出現(xiàn)的誤差，在距離約束限制下形成平方誤差最小化非線性問題:

　　運(yùn)用數(shù)值分析方法，求得最優(yōu)解 ，進(jìn)而得到未知節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)位置估計(jì)值：

　　三角形質(zhì)心定位算法模型

　　本文研究了未知節(jié)點(diǎn)與其無線射程范圍內(nèi)的三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)之間的通信約束和幾何關(guān)系得出了未知節(jié)點(diǎn)所在三角區(qū)域，將三角形的質(zhì)心作為未知節(jié)點(diǎn)的估計(jì)位置^[8，9] 。這里的三角形質(zhì)心定位算法的基本思想是：三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)A、B、C，未知節(jié)點(diǎn)D，利用RSSI和距離幾何約束算出節(jié)點(diǎn)A和D的距離為;節(jié)點(diǎn)B和D的距離為;節(jié)點(diǎn)C和D的距離為。分別以A、B、C為圓心r_A，r_B，r_C ， 為半徑畫圓，可得錨圓交疊區(qū)域，通過計(jì)算三個(gè)錨圓交疊區(qū)域的三個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)，以這三個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，未知點(diǎn)即為三角形的質(zhì)心(如圖1所示)。

　　假設(shè)已知3個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X_a，Y_a) 、B(X_b，Y_b) 、C(X_c，Y_c) ，與未知節(jié)點(diǎn)的距離分別為r_A，r_B，r_C ，通過下面的公式求出。