式中：N為濾波器長度。假設(shè)滿足條件N=DQ(其中D，Q為整數(shù))，則H(z1)可以寫成：

根據(jù)文獻[7]，傳統(tǒng)的濾波后再抽取的多速率系統(tǒng)如圖3所示。

圖3中，T2=DT1?？梢钥闯觯矸e運算在下采樣之前進行。通過對濾波器進行多相分解，得到多相分解表示如圖4所示。

Ek(z1D)相當于一組濾波器，利用多采樣率系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)的互易性對濾波器位置進行等效變換，將抽取操作前置，這樣卷積運算已經(jīng)變換到在低抽樣率下進行，濾波運算量減少到原來的1／D，大大減少運算量，如圖5所示。

由圖5可知，每相仍然相當于低階的FIR濾波器，下節(jié)對其采用DA算法，可以看到運算速度將進一步提高，運算量也將大幅減少。

3 多速率DA根升余弦濾波器的結(jié)構(gòu)及其FPGA實現(xiàn)
按查找表的方式，DA算法可以分為串行實現(xiàn)方式和位并行實現(xiàn)方式兩種。本文采用位并行方式實現(xiàn)。因為本文針對的是一個48階平方根升余弦濾波器，從表1可以看到結(jié)構(gòu)是對稱的，LUT的規(guī)模隨地址空間，也就是輸入系數(shù)N的增加而呈指數(shù)增加。這里系數(shù)N=48，用單個LUT不能夠執(zhí)行全字(輸入LUT位寬等于系數(shù)的數(shù)量)。為了減小LUT的規(guī)模，根據(jù)文獻[8]可以利用部分表計算，并將結(jié)果相加，即用m個濾波系數(shù)為k的濾波單元構(gòu)成系數(shù)為N(N=m×k)的濾波單元。如果再加上流水線寄存器，這一改進并沒有降低速度，卻可以極大地減少設(shè)計規(guī)模，這里采用4輸入LUT，如圖6所示?？紤]濾波器的對稱性，需要6種LUT，對于每個4輸入LUT：
b0～b3為x[n]～x[n-3]的第0位，構(gòu)成了一組查找表的查找地址。
LUT表中存儲的是所有可能使用到的數(shù)值，是濾波器系數(shù)的16種組合形式。