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        一種分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和改進(jìn)

        作者: 時(shí)間:2009-04-24 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏


        基于Rectangular算子的器傳輸函數(shù)可以寫為:


        這里使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)法將展開上式,實(shí)現(xiàn)對函數(shù)的有限階逼近。下面列出T=0.001 s時(shí),O.5階Rectangular傳遞函數(shù)GvRn(z):


        GvRn(z)中v表示微分階數(shù);n表示階數(shù)。
        1.3 基于Tustin算子的數(shù)字微分
        Tustin算子表示為:


        基于Tustin算子的分?jǐn)?shù)階微分器傳輸函數(shù)可以寫為:


        使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法將上式展開,完成對函數(shù)的有限階逼近。下面列出了T=0.001 s時(shí),0.5階微分Tustin分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvTn(z):


        GvTn中v表示微分階數(shù);n表示濾波器階數(shù)。
        圖2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和simpson算子的0.5階微分濾波器的頻率特性曲線,所實(shí)現(xiàn)的濾波器階數(shù)都是5階。從圖2中可以看出3種濾波器在低頻區(qū)域,幅度曲線還能與理想幅度一致,但隨著頻率增加,特別是在高頻區(qū)域,誤差迅速增大。

        從圖2中可以看出,基于Rectangular濾波器的幅度特性最好,但相位特性明顯比另兩種算子的差。Tustin的優(yōu)點(diǎn)在于其相位特性非常好,相位曲線絕大部分區(qū)域都與理想頻率響應(yīng)相位曲線重合。Tustin和Sirepson有很強(qiáng)互補(bǔ)性。因?yàn)閮烧咴诘皖l的表現(xiàn)都比較好,雖然在高頻都有明顯誤差,但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè)。因此,這里認(rèn)為通過這3種算子的相互結(jié)合,可以得到一種新的、頻率特性更好的微分算子。


        2 通過內(nèi)插結(jié)合形成新分?jǐn)?shù)階微分濾波器
        2.1 基于Rectangular算子和Tustin算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
        通過觀察發(fā)現(xiàn)矩形(Rectangular)濾波器和梯形(Tustin)濾波器分別具有最好的幅頻和相頻特性,因此將這兩種濾波器通過內(nèi)插結(jié)合,可獲得更好的近似理想積分器。
        由于微分和積分的互逆性,首先推導(dǎo)新的積分算子HA(z)。用下標(biāo)A表示結(jié)合后積分器,用下標(biāo)R表示矩形積分器,用下標(biāo)T表示梯形積分器,其積分算子的傳輸函數(shù)由Rectangular算子和Tustin算子按3:1的比率結(jié)合獲得。積分器傳輸函數(shù)如下所示:


        其零點(diǎn)不在單位圓內(nèi)將零點(diǎn)z=一7映射到z=一1/7,通過乘以7對幅度進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償,獲得最小相位積分器如下:


        下面是T=O.001 s時(shí),使用該算子實(shí)現(xiàn)0.5階微分的分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvAn(z):


        2.2 基于Tustin算子和Simpson算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
        同樣通過觀察發(fā)現(xiàn)Tustin算子和Simpson算子雖然在高頻都有明顯誤差,但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè),以期通過內(nèi)插結(jié)合相互抵消,而獲得性能更好的濾波器。新的積分算子HB(z)傳輸函數(shù)通過梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2:3比例結(jié)合獲得。



        關(guān)鍵詞: IIR 分?jǐn)?shù)階 微分 濾波器

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