可求出反射到照明面上的光束R 的照度為：

　　2. 3 偏微分方程

　　該反射過程中，入射光I 的強度I 與反射光R照到t 點的照度E2滿足偏微分方程：

　　其中：

x 和y 由2. 1 中的結(jié)果給出。入射到反射面上的光線I 的強度：

　　E2由2. 2 中的結(jié)果給出。將以上結(jié)果帶入偏微分方程，列出偏微分方程的具體形式。

　　偏微分方程的邊界條件由朗伯型光源的發(fā)光特性和矩形均勻照明區(qū)域決定。首先設(shè)置反射面的下邊緣也為一個長寬比例為a∶ b 的矩形，讓直接照射到照明面上的光為一個矩形光斑。而朗伯型LED 光源的發(fā)光角度為120°，因此反射面的上邊緣在一個頂角為120°的圓錐面上。用數(shù)值求解法將上式進行離散化，計算偏微分方程。設(shè)置反射面的下邊緣初始點坐標(biāo)作為初始點條件，結(jié)合邊界條件，帶入計算機程序迭代計算方程，求出反射面上一系列的點的坐標(biāo)。

　　3 模擬與仿真

　　將求解出的反射面的一系列點輸入建模軟件ProE 中，擬合成一個實體反射面，如圖4 所示。再將該反射面導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件Tracepro 中，模擬驗證最終的效果，得到照明面上的照度分布圖，如圖5 所示。在中間照明區(qū)域，光照的均勻度可達85% 以上，能實現(xiàn)比較理想的照明效果。因為在建模過程中，是先輸入點，形成樣條曲線，再由樣條曲線形成最終的反射面，這個過程中采用了平滑的算法，引入了誤差，使最后結(jié)果有點失真，但失真程度不大。

圖4 反射面結(jié)構(gòu)圖

圖5 照度分布圖

　　4 結(jié)論

　　本文通過對微分方程的數(shù)值求解求出自由反射曲面的面型，依據(jù)不同的光源和照明需求得到不同的邊界條件和具體的方程，可自由設(shè)計反射曲面。

　　反射面型的配光結(jié)構(gòu)可避免透鏡的加工成本高及對能量吸收率高等缺點。