1軟件鎖相環(huán)的基本模型
   
在模擬鎖相環(huán)的基礎上，利用數字、模擬系統(tǒng)彼此之間的聯系，以二階二型鎖相環(huán)為例建立軟件鎖相環(huán)的Z 域模型。文獻［2］詳細給出了鎖相環(huán)的基本模型和原理。
   
如果將鎖相環(huán)的基本部件采用軟件編程的形式實現，就可以得到軟件鎖相環(huán)的基本組成，如圖1所示。
   
首先從模擬鎖相環(huán)的S域模型出發(fā)得到軟件鎖相環(huán)的Z 域模型（二階二型模擬鎖相環(huán)的S域模型請參閱文獻［2］）。由于雙線性變換是聯系模擬系統(tǒng)與數字系統(tǒng)的一個重要方法，具有轉換簡單且表達式清晰明了的特點，因此本文選擇雙線性變換法作為模擬鎖相環(huán)與軟件鎖相環(huán)之間的轉換基礎。

式(1)是雙線性變換法的復頻域表達式：

其中：T是聯系數字系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)的采樣時間間隔，1/T表示采樣頻率。根據該轉換關系，對S域模型各部分對應的數字復頻域表達式進行轉換，可以得到如圖2所示的復頻域模型。

在實際應用中，二階線性系統(tǒng)常采用阻尼因子ξ、無阻尼振蕩頻率ω_n描述。在二階二型鎖相環(huán)中，τ₁，τ₂ ，K 與ξ，ω_n之間的對應關系如下：

在式(1)和式(2)的基礎上對圖2進行等效變換，可以得到軟件鎖相環(huán)的另一個線性相位Z域模型，如圖3所示。

在模型Ⅰ中，參數τ₁，τ₂和K與實現電路功能的電阻、電容、壓控振蕩器密切相關。而實現軟件鎖相功能的卻是乘法器、加法器與寄存器，因此采用模型Ⅱ表征軟件鎖相環(huán)線性相位Z域模型顯得更有實際意義。

2軟件鎖相環(huán)的數學模型

數字鑒相器的Z域模型如下：
 

實現數字鑒相器的方法之一就是借助信號的正交分解，圖4是該方法的原理框圖。

其中：LPF表示低通濾波，A是低通濾波器帶來的常數增益。因此鑒相器的輸出：

經過反Z變換得到數字環(huán)路濾波器的時域表達式為：

通過反Z變換得到數控振蕩器的時域表達式：

變量u_c(nT)數值較小且變化不會太快,因此式(14)成立：

綜合式(11)、式 (12)和式(13)，得到NCO輸出信號的表達式：

如果以數字頻率描述數控振蕩器，則稱其數字中心頻率為ω₀T，數字偏置頻率為ω_n²